三角函数给角求值

前言

三角函数中的给角求值类问题，大多给定的是分式形式，或者可以化为分式形式的，比如含有弦和切，当切化弦后就变成了分式；并且这类题目往往需要将非特殊角拆分，然后最后一步约掉含有非特殊角的代数式，就得到了最终的值。注意高频变形：分式约分，和加减抵消；

难点变形

常涉及“切化弦”，“分式通分”，“辅助角公式”等高频变形；

$\tan\theta-\sqrt{3}=\cfrac{\sin\theta}{\cos\theta}-\cfrac{\sqrt{3}\cos\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\sin\theta\cdot \cfrac{1}{2}-\cos\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}$
$1+\sqrt{3}\tan\theta=\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}+\cfrac{\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta}{\cos\theta}=\cfrac{2(\cos\theta\cdot \cfrac{1}{2}+\sin\theta\cdot\cfrac{\sqrt{3}}{2})}{\cos\theta}$

注：在具体题目中，角$\theta$可以是具体的值，比如$\tan12^{\circ}-\sqrt{3}$，或$1+\sqrt{3}\tan21^{\circ}$

典例剖析

求值：$\cfrac{cos85^{\circ}+sin25^{\circ}cos30^{\circ}}{cos25^{\circ}}$

分析：这类题目往往需要将非特殊角拆分，然后约掉含有非特殊角的代数式，就得到了最终的值。

原式=$\cfrac{cos(90^{\circ}-5^{\circ})+\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin25^{\circ}}{cos25^{\circ}}$$=\cfrac{sin5^{\circ}+\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin25^{\circ}}{cos25^{\circ}}$

$=\cfrac{sin(30^{\circ}-25^{\circ})+\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin25^{\circ}}{cos25^{\circ}}$$=\cfrac{\cfrac{1}{2}cos25^{\circ}}{cos25^{\circ}}=\cfrac{1}{2}$

求值：$\cfrac{sin^250^{\circ}}{1+sin10^{\circ}}$

分析：原式=$\cfrac{1-cos100^{\circ}}{2(1+sin10^{\circ})}$$=\cfrac{1-cos(90^{\circ}+10^{\circ})}{2(1+sin10^{\circ})}$

$=\cfrac{1+sin10^{\circ}}{2(1+sin10^{\circ})}=\cfrac{1}{2}$

化简求值：$\cfrac{3-sin70^{\circ}}{2-cos^210^{\circ}}$

分析：$\cfrac{3-sin70^{\circ}}{2-cos^210^{\circ}}=\cfrac{3-cos20^{\circ}}{2-cos^210^{\circ}}=\cfrac{3-(2cos^210^{\circ}-1)}{2-cos^210^{\circ}}=\cfrac{2(2-cos^210^{\circ})}{2-cos^210^{\circ}}=2$

化简求值：$4cos50^{\circ}-tan40^{\circ}$

分析：$4cos50^{\circ}-tan40^{\circ}=4cos50^{\circ}-\cfrac{sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}$

$=\cfrac{4cos50^{\circ}cos40^{\circ}-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}=\cfrac{4sin40^{\circ}cos40^{\circ}-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}$

$=\cfrac{2sin80^{\circ}-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}=\cfrac{2cos10^{\circ}-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}=\cfrac{2cos(40^{\circ}-30^{\circ})-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}$

$=\cfrac{2cos40^{\circ}\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}+2sin40^{\circ}\cdot \cfrac{1}{2}-sin40^{\circ}}{cos40^{\circ}}=\sqrt{3}$.

思路补充：$\sin80^{\circ}=\sin(120^{\circ}-40^{\circ})$，$\sin40^{\circ}=\sin(10^{\circ}+30^{\circ})$；

化简求值：$\cfrac{sin8^{\circ}+sin7^{\circ}cos15^{\circ}}{cos8^{\circ}-sin7^{\circ}sin15^{\circ}}$

分析：$\cfrac{sin8^{\circ}+sin7^{\circ}cos15^{\circ}}{cos8^{\circ}-sin7^{\circ}sin15^{\circ}}$

$=\cfrac{sin(15^{\circ}-7^{\circ})+sin7^{\circ}cos15^{\circ}}{cos(15^{\circ}-7^{\circ})-sin7^{\circ}sin15^{\circ}}$

$=\cfrac{sin15^{\circ}}{cos15^{\circ}}=tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$。

化简求值：$\cos\cfrac{\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}$

分析：$\cos\cfrac{\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}$

$=\cfrac{2\sin\cfrac{\pi}{17}\cos\cfrac{\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{\sin\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{2\sin\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{2\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^2\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{2\sin\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{4\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^3\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{2\sin\cfrac{8\pi}{17}\cdot\cos\cfrac{8\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{\sin\cfrac{16\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{sin\cfrac{\pi}{17}}{2^4\sin\cfrac{\pi}{17}}$

$=\cfrac{1}{16}$

已知$sinx+cosx=\cfrac{\sqrt{2}}{2}$，化简求值：$sin^4x+cos^4x$

分析：由题目可知，$(sinx+cosx)^2=(\cfrac{\sqrt{2}}{2})^2$，

即$1+2sinxcosx=\cfrac{1}{2}$，故$2sinxcosx=-\cfrac{1}{2}$

$sin^4x+cos^4x=(sin^2x+cos^2x)^2-2sinx^2cos^2x$

$=1-2sinx^2cos^2x=1-\cfrac{1}{2}(2sinxcosx)^2=1-\cfrac{1}{8}=\cfrac{7}{8}$

化简求值：$\cfrac{sin47^{\circ}-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}$

分析：$\cfrac{sin47^{\circ}-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}$

$=\cfrac{sin(30^{\circ}+17^{\circ})-sin17^{\circ}cos30^{\circ}}{cos17^{\circ}}$

$=\cfrac{sin30^{\circ}cos17^{\circ}}{cos17^{\circ}}$

$=\sin30^{\circ}=\cfrac{1}{2}$。

求值$\cfrac{1+cos20^{\circ}}{2sin20^{\circ}}-sin10^{\circ}(\cfrac{1}{tan5^{\circ}}-tan5^{\circ})$

分析：原式$=\cfrac{2cos^210^{\circ}}{2\cdot 2sin10^{\circ}cos10^{\circ}}-sin10^{\circ}(\cfrac{cos5^{\circ}}{sin5^{\circ}}-\cfrac{sin5^{\circ}}{cos5^{\circ}})$

$=\cfrac{cos10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}-sin10^{\circ}(\cfrac{cos^25^{\circ}-sin^25^{\circ}}{sin5^{\circ}cos5^{\circ}})$

$=\cfrac{cos10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}-sin10^{\circ}\cfrac{2cos10^{\circ}}{2sin5^{\circ}cos5^{\circ}})$

$=\cfrac{cos10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}-2cos10^{\circ}$

$==\cfrac{cos10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}-\cfrac{2cos10^{\circ}\cdot 2sin10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}-2sin20^{\circ}}{2sin10^{\circ}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}-2sin(30^{\circ}-10^{\circ})}{2sin10^{\circ}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}-cos10^{\circ}+2\cdot \cfrac{\sqrt{3}}{2}sin10^{\circ}}{2sin10^{\circ}}$

$=\cfrac{\sqrt{3}}{2}$。

求值$\cfrac{cos10^{\circ}-\sqrt{3}cos(-100^{\circ})}{\sqrt{1-sin10^{\circ}}}$

分析：原式$=\cfrac{cos10^{\circ}-\sqrt{3}cos(100^{\circ})}{\sqrt{1-sin10^{\circ}}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}+\sqrt{3}sin10^{\circ}}{\sqrt{1-sin10^{\circ}}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}+\sqrt{3}sin10^{\circ}}{\sqrt{(cos5^{\circ}-sin5^{\circ})^2}}$

$=\cfrac{cos10^{\circ}+\sqrt{3}sin10^{\circ}}{(cos5^{\circ}-sin5^{\circ})^2}$

$=\cfrac{2sin(10^{\circ}+30^{\circ})}{-\sqrt{2}sin(5^{\circ}-45^{\circ})}$

$=\cfrac{2sin40^{\circ}}{\sqrt{2}sin40^{\circ}}=\sqrt{2}$。

化简求值$\cfrac{cos40^{\circ}}{cos25^{\circ}\cdot \sqrt{1-sin40^{\circ}}}$

分析：原式$=\cfrac{cos40^{\circ}}{cos25^{\circ}\cdot \sqrt{(sin20^{\circ}-cos20^{\circ})^2}}$

$=\cfrac{cos40^{\circ}}{cos25^{\circ}\cdot |sin20^{\circ}-cos20^{\circ}|}$

$=\cfrac{cos^220^{\circ}-sin^220^{\circ}}{cos25^{\circ}(cos20^{\circ}-sin20^{\circ})}$

$=\cfrac{cos20^{\circ}+sin20^{\circ}}{cos25^{\circ}}$

$=\cfrac{\sqrt{2}sin(20^{\circ}+45^{\circ})}{cos25^{\circ}}$

$=\cfrac{\sqrt{2}sin65^{\circ}}{cos25^{\circ}}=\sqrt{2}$.

化简求值$\cfrac{\sqrt{3}tan12^{\circ}-3}{(4cos^212^{\circ}-2)sin12^{\circ}}$

分析：原式=$\cfrac{\sqrt{3}\cfrac{sin12^{\circ}}{cos12^{\circ}}-3\cfrac{cos12^{\circ}}{cos12^{\circ}}}{2(2cos^212^{\circ}-1)sin12^{\circ}}$

$=\cfrac{\sqrt{3}\cdot \cfrac{sin12^{\circ}-\sqrt{3}cos12^{\circ}}{cos12^{\circ}}}{2cos24^{\circ}sin12^{\circ}}$

$=\cfrac{\sqrt{3}\cdot 2sin(12^{\circ}-60^{\circ})}{2cos24^{\circ}sin12^{\circ}cos12^{\circ}}$

$=\cfrac{2\sqrt{3}sin(-48^{\circ})}{sin24^{\circ}cos24^{\circ}}=-4\sqrt{3}$。

题型变化

【2020宝鸡市质检三文科第11题】著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“$0.618$优选法"在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，黄金分割比$t=\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\approx 0.618$，还可以表示成$2\sin18^{\circ}$，则$\cfrac{2\cos^{2}27^{\circ}-1}{t\sqrt{4-t^{2}}}=$【$\qquad$】

$A.4$ $B.\sqrt{5}-1$ $C.2$ $D.\cfrac{1}{2}$

分析：由于$t=2\sin18^{\circ}$，故有

$\cfrac{2\cos^{2}27^{\circ}-1}{t\sqrt{4-t^{2}}}=\cfrac{\cos54^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\sqrt{4-4\sin^{2}18^{\circ}}}=\cfrac{\cos54^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\sqrt{4(1-\sin^{2}18^{\circ})}}$

$=\cfrac{\sin36^{\circ}}{2\sin18^{\circ}\cdot 2\cos18^{\circ}}=\cfrac{\sin36^{\circ}}{4\sin18^{\circ}\cos18^{\circ}}=\cfrac{1}{2}$，故选$D$.

【2021届高三文科三轮模拟题】公元前 $6$ 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为 $0.618$，这一数值也可以表示为$S=2\sin18^{\circ}$，若 $S^2+t=4$ ，则 $\cfrac{S\sqrt{t}}{2\sin^2207^{\circ}-1}$=_____________.

解析：由于 $S^2+t=4$ ，则 $t=4-S^2=4-4\sin^218^{\circ}$，

则 $\cfrac{S\sqrt{t}}{2\sin^2207^{\circ}-1}=\cfrac{2\sin18^{\circ}\sqrt{4-4\sin^218^{\circ}}}{2\sin^2207^{\circ}-1}$

$=\cfrac{2\sin18^{\circ}\cdot 2\cos18^{\circ}}{-\cos414^{\circ}}$ $=\cfrac{2\sin36^{\circ}}{-\cos54^{\circ}}=-2$

对应练习

化简求值$\cfrac{\sqrt{3}-tan12^{\circ}}{(2cos^212^{\circ}-1)sin12^{\circ}}=8$

化简求值$sin50^{\circ}(1+\sqrt{3}tan10^{\circ})=1$

posted @ 2018-01-31 17:54 静雅斋数学阅读(1189) 评论(0) 编辑收藏举报

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